글쓴이가 겪은 문제점은 모든 SDK를 최신버전으로 다운로드 하여 생긴 문제였습니다. 사용처에 맞게 필요한 버전을 다운로드하면 해결됩니다.
해결 방안

작업중인 유니티 프로젝트의 C# 스크립트를 엽니다. Output 창에서 OmniSharp Log를 통해 무엇 때문에 VSCode에서 기능을 사용할 수 없는지 알 수 있습니다. 위 사진처럼 없다고 하는 걸 찾아서 다운로드 받으면 됩니다.
글쓴이의 기준으로는 .NET Framework 4.7.1과 .NET 6.0을 찾을 수 없다고 나왔습니다. 해당 버전들을 다운로드하면 됩니다.
사용처에 맞는 SDK 다운로드

.NET Framework 다운로드(링크)에서 필요한 버전의 SDK(개발자 팩)를 다운로드합니다.

.NET SDK 다운로드(링크)에서 본인의 운영체제에 맞는 버전의 SDK를 다운로드합니다.

VSCode를 다시 실행하고 자동 완성 기능이 잘 동작하는지 확인합니다.